Понятие логарифма, свойства логарифмов

Рассмотрим два произвольных действительных числа  a и b, удовлетворяющих условиям: a > 0; a ≠ 1; b > 0

      Определение. Логарифмом числа b  по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

      Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x, которое является решением уравнения ax b

      Доказательство того, что решение уравнения существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

      Для логарифма числа b по основанию a используется обозначение:

logab

      Таким образом, для всех действительных чисел  a и b, удовлетворяющих условиям a > 0; a ≠ 1; b > 0 справедливо равенство

aloga= b,

которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

      Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения ax =b мы ищем показатель степениа при решении уравнения

x a = b.

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

begin mathsize 12px style x equals b to the power of 1 over a end exponent end style

и в случае, когда a – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа b.

Пример 1. 

Решить уравнение x= 81 .

Решение. 

Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

begin mathsize 12px style x cubed equals 81 space left right double arrow space x equals cube root of 81 equals end stylebegin mathsize 12px style 81 to the power of 1 third end exponent equals open parentheses 3 to the power of 4 close parentheses to the power of 1 third end exponent equals 3 to the power of 4 over 3 end exponent end style

Ответ: begin mathsize 12px style 3 to the power of 4 over 3 end exponent end style.

Пример 2. 

Решить уравнение 3x = 81 .

Решение. 

Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3, получаем:

begin mathsize 12px style 3 to the power of x equals 81 space left right double arrow space x equals log subscript 3 81 equals end stylebegin mathsize 12px style log subscript 3 open parentheses 3 to the power of 4 close parentheses equals 4 end style.

Ответ: 4.

     

Задача. 

Доказать, что число log2 3 иррационально.

Решение. 

    Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь begin mathsize 12px style m over n end style, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство: begin mathsize 12px style log subscript 2 3 equals m over n end style

Из определения логарифма отсюда вытекает равенство: begin mathsize 12px style 2 to the power of m over n end exponent equals 3 end style, следствием которого является равенство: 2m = 3n .

      Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Свойства логарифмов

      Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

  1. logaa = 1, a > 0, a ≠ 1
  2. logaa= p, a > 0, a ≠ 1
  3. loga1 = 0, a > 0, a ≠ 1
  4. loga(bc) = logab + logac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
  5. logabegin mathsize 12px style bevelled b over c end style = logab - logac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
  6. logabp = plogab, a > 0, a ≠ 1, b > 0
  7. logab = begin mathsize 12px style fraction numerator log subscript c b over denominator l o g subscript c a end fraction end style, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1
  8. logab = begin mathsize 12px style bevelled 1 over p end stylelogab, a > 0, a ≠ 1, b > 0, p ≠ 1
  9. logab = begin mathsize 12px style bevelled fraction numerator 1 over denominator log subscript b a end fraction end style, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1
  10. logab = logcb * logac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

 В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

      Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10, а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число  e, которое определяется по формуле

у = limn→∞(1 + begin mathsize 12px style 1 over n end style)n ≈ 2,71828182...,

доказательство которой выходит за рамки школьной программы.

      Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:

lg b       и      ln b,

причем

lg e ≈ 0,43429...,

ln 10 ≈ 2,30259...,

      Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе,  следует применять внимательно и аккуратно.

      Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

loga ( f (x)2 ) ,

то вместо формулы

loga(f(x)2) = 2logaf(x),  a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0

следует применять формулу

loga(f(x)2) = 2logaf(x),  a > 0, a ≠ 1, f(x)  0

поскольку в противном случае можно потерять корни.

      По той же причине при преобразовании выражений

loga(f(x)g()x) и begin mathsize 12px style log subscript a open parentheses fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator g open parentheses x close parentheses end fraction close parentheses end style

следует использовать формулы:

loga(f(x)g()x) = logaf(x)|+logag(x)|, a > 0, a ≠ 1, f(x)g(x) > 0

begin mathsize 12px style log subscript a open parentheses fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator g open parentheses x close parentheses end fraction close parentheses end style= logaf(x)|-logag(x)|, a > 0, a ≠ 1, f(x)g(x) > 0

Вопросы к конспектам

Вычислите: 24log2a - begin mathsize 12px style 25 to the power of 1 half l o g square root of 5 a end exponent end style - a0
Найдите значение выражения: begin mathsize 12px style 5 over 3 open parentheses l o g subscript 5 125 plus 64 to the power of l o g subscript 4 5 end exponent close parentheses to the power of l o g subscript 128 45 end exponent end style
Вычислите: begin mathsize 12px style 1 fifth to the power of l o g subscript 5 7 end exponent end style
Вычислите: log124 + log1236
Решите уравнение: log3(5 - 4x) = 4
Найдите log232begin mathsize 12px style cube root of x squared end root end style, если log2x = b
Если log7 12 = a и log12 24 = c, то вычислите  log54 168
Если lg5 = a и lg3 = c, то найдите log308
Упростите выражение: begin mathsize 12px style open parentheses 81 to the power of 1 fourth minus l o g subscript 9 4 end exponent plus 25 to the power of l o g subscript 125 8 end exponent close parentheses asterisk times 49 to the power of l o g subscript 7 2 end exponent end style
Упростите выражение: begin mathsize 12px style negative l o g subscript 2 l o g subscript 2 square root of fourth root of 2 end root end style
Вычислите: begin mathsize 12px style l o g subscript 1 third fifth root of 3 end subscript 1 over 243 end style
Последнее изменение: Среда, 1 Февраль 2017, 19:05