Решение иррациональных неравенств и их систем

Неравенства, содержащие неизвестную переменную под знаком корня, называют иррациональным неравенством

Одним из способов решения иррационального неравенства является возведение обеих частей в одну и ту же натуральную степень.

При возведении обеих частей в одну и ту же натуральную степень необходимо пользоваться следующей теоремой:

1. Если n-нечетное, то неравенство f(x)<g(x) равносильно неравенству fⁿ(x)<gⁿ(x)
2. Если n-четное, то неравенство f(x)<g(x) равносильно неравенству fⁿ(x)<gⁿ(x) на множестве, где f(x)≥0 и g(x)≥0

Иррациональные неравенства можно решать используя метод подстановки.

Рассмотрим решение неравенства:

Пример 1. 

Решить неравенство: 

Решение: 

Найдем О.Д.З. неравенства: 

Если правая часть отрицательна, т.е. 2х - 5<0 или при х<2,5 то неравенство не имеет решений. а если 2х - 5≥0, то неравенство равносильно неравенству: 

Решением данного неравенства является промежуток: 

объединив все решения и учитывая, что х ≥ 2,5 найдем промежуток пересечения, получим: