Арифметический корень n-ой степени

    Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

    Арифметический корень обозначают . Число n называют показателем корня, а само число a - подкоренным выражением. Знак корня √ называют радикалом.

    При четных n функция f(x) = xⁿ четна, следовательно, если a > 0, то уравнение xⁿ = a кроме корня x₁ = n, имеет так же корень . Если a = 0, то корень всего один: x = 0. Если a < 0, то это уравнение корней не имеет, так как четная степень любого числа неотрицательна.

    Таким образом, при четном n существуют два корня n-й степени из любого положительного числа a. Корень n-й степени из числа 0 равен нулю, а корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

    При нечетных значениях n функция f(x) = xⁿ возрастает на всей числовой прямой, ее область значений - множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение xⁿ = a имеет один корень для любого значения a, и, в частности, при a < 0. Этот корень для любого значения а, в том числе и нечетного, обозначают .

   Резюмируя вышесказанное, можно сделать вывод: при нечетном n существует корень n-й степени из любого числа a и притом только один.

 Для корней нечетной степени справедливо равенство:

.

 Вышеприведенное равенство позволяет выражать и вычислять корни с нечетной степенью из отрицательных чисел.

 Замечание 1.

 Для любого действительного , если n четно;, если n нечетно.

 Замечание 2.

Считают, что корень первой степени из числа равен этому же числу. Квадратным корнем называют корень второй степени (при этом показатель степени опускают и пишут просто знак радикала). Корень третьей степени называют кубическим корнем.