Первообразная функции. Основное свойство первообразной

Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1.

Пусть  (f(х))’ = 3х². Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х³, ибо 

(х³)’ = 3х² Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять  f(х)= х³+1 f(х)= х³+2 f(х)= х³-3 и др.

Т.к. производная каждой из них равно 3х². (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х³+С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х²

Определение. 

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х<sup>3</sup> первообразная для f(х)=3х<sup>2</sup> на (- ∞ ; ∞ ).  Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х³)`=3х²

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных .

Пример №2.

Функция  есть первообразная для всех  на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Доказательство.

Зафиксируем некоторое x₀ из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x₀, что

F(x) - F(x₀) = F'(c)(x-x₀).

По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,

F(x) - F(x₀) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

F(x) = F(x₀),

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C, (1) где F (х) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С — произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1. какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2. какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Ф(x)= F(x)+C.

Доказательство.

1. По условию функция F — первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F'(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)' = F'(x) + C'=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C — первообразная для функции f.
2. Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф'(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) - F (x))' = Ф'(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) — F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) — F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу

Свойства первообразной

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных
2. Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
3. Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции   является непрерывность   на этом отрезке
4. Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции  первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
5. У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Вопросы к конспектам

Найдите все первообразные для функции 

Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.

Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку 

Найдите первообразную функции