Производная сложных функций

Пусть x=x(t) а y=f(x) тогда функция y=f(x) зависит и от t, то есть y=f(x(t)), эту функцию называют сложной функцией от аргумента t.

К примеру функция y=(2t+3)³¹ зависит от t и является сложной функцией.

Производные таких функции трудно вычислить, так как их нет в таблице производных а также не возможно привести элементарными преобразованиями к известным производным (не будем же мы раскрывать скобки и вычислять 31-ую степень!), а иногда и вообще невозможно.

Существует формула нахождения производной сложной функции:

Если y=f(x) а x=x(t) тогда y_t′=f_x ′ (x) ⋅ x_t ′

К примеру для вычисления производной y=(2t+3)³¹ положим 2t+3=x тогда y=x³¹, и теперь осталось только применить формулу:

y_t′=(x³¹)_x ′ ⋅ (2t+3)_t ′

y_t′=31⋅ x^31-1 ⋅ 2

y_t′= 2⋅31⋅ x³⁰

y_t′= 62⋅ x³⁰

так как 2t+3 = x

y_t′= 62⋅ (2t+3)³⁰

Пример 1.

Найти производную функции s = (sinx - 2cosx)³

Сначала определим, где здесь  функция по промежуточному аргументу u, а где  промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень - это функция по промежуточному аргументу, а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) - это промежуточный аргумент.

Тогда s' = ((sinx - 2cosx)³)' = 3(sinx - 2cosx)² * (sinx - 2cosx)'.

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

(sinx - 2cosx)' = (sinx)' - (2cosx)' = cosx - 2(cosx) = cosx - 2(-sinx)=cosx + 2sinx

Искомая производная:

3(sinx - 2cosx)² * (cosx + 2sinx).

Пример 2.

Найти производную функции y = ln(ax² + c).

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

y' = (ln(ax²))' + (ln(c))'

Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках - это функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках - промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда y' = (ln(ax² + c))' =  =  = 

Пример 3.

Найти производную функции y = cos(x³ - 3)

Неправильное решение:

y' = (cos(x³))' - (cos3)'.

Правильное решение.  Соединяем две производные знаком произведения. Имеем:

y' = (cos(x³ - 3))' = -sin(x³ - 3) * (x³ - 3)' = - sin(x³ - 3) * 3x² = -3x² * sin(x³ - 3).

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Пример 4.

Найти производную функции y = ln(x + ).

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

y' = (ln(x + ))' = 

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

(x + )' = x' + ()' = 1 + ()'.

Второе слагаемое - корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень - сложная функция, а то, что возводится в степень - промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Таким образом, производная промежуточного аргумента, нужного для вычисления искомой производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.

Найти производную функции 

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень - сложная функция, а сам синус - промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную искомой функции y:

Здесь возведение косинуса в степень - сложная функция f[g(x)], а сам косинус - промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Находим искомую производную:

Таблица производных некоторых сложных функций

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции  формула производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
2. Производная корня от выражения
3. Производная показательной функции
4. Частный случай показательной функции
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
7. Производная синуса
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная арккотангенса