Понятие производной. Производная основных функций

Определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция  u = g(x) определена на множестве X и U – множество значений этой функции. Пусть, множество U является областью определения функции  y = f(x). Поставим  в соответствие каждому x из X число  f(g(x)). Тем самым на множестве X будет задана функция y = f(g(x)). Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,  y = f(u) – внешняя функция, 

u = g(x) – промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

open parentheses size 12px integral open parentheses size 12px g open parentheses size 12px x close parentheses close parentheses close parentheses to the power of size 12px apostrophe size 12px equals size 12px integral to the power of size 12px apostrophe open parentheses size 12px g open parentheses size 12px x close parentheses close parentheses size 12px asterisk times size 12px g to the power of size 12px apostrophe open parentheses size 12px x close parentheses

Чтобы было более понятно, это правило можно записать в виде такой схемы:

open parentheses size 12px integral open parentheses size 12px increment close parentheses close parentheses to the power of size 12px apostrophe size 12px equals size 12px integral to the power of size 12px apostrophe open parentheses size 12px increment close parentheses size 12px asterisk times size 12px increment to the power of size 12px apostrophe

В этом выражении с помощьюобозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

  1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
  2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции begin mathsize 12px style y equals 5 to the power of s i n squared x end exponent end style последнее действие - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент  sin2x как begin mathsize 12px style increment end style

Получим begin mathsize 12px style 5 to the power of increment end style

Ищем в таблице производных производную показательной функции:

begin mathsize 12px style open parentheses a to the power of x close parentheses to the power of apostrophe equals a to the power of x ln a end style

Получим: begin mathsize 12px style open parentheses 5 to the power of increment close parentheses to the power of apostrophe equals 5 to the power of increment ln 5 asterisk times increment to the power of apostrophe equals 5 to the power of increment ln 5 open parentheses sin squared x close parentheses end style

Теперь наша задача найти производную функции  sin2x

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие – возведение в квадрат, а промежуточный аргумент sinx.

Получаем: (sin2x)' = 2sinx×(sinx)' = 2sinxcosx

Подставим полученное значение производной в выражение

begin mathsize 12px style open parentheses 5 to the power of increment close parentheses to the power of apostrophe equals 5 to the power of increment ln 5 asterisk times increment to the power of apostrophe equals 5 to the power of increment ln 5 open parentheses sin squared x close parentheses to the power of apostrophe end stylebegin mathsize 12px style equals 5 to the power of increment l n 5 asterisk times increment to the power of apostrophe equals 5 to the power of s i n squared x end exponent ln 5 asterisk times 2 sin x cos x end style

И, наконец, упростим выражение, вcпомнив формулу синуса двойного аргумента:

begin mathsize 12px style open parentheses 5 to the power of sin squared x end exponent close parentheses to the power of apostrophe equals 5 to the power of s i n squared x end exponent ln 5 asterisk times sin 2 x end style

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

Вопросы к конспектам
Решите уравнение f'(x) = 0, если begin mathsize 12px style f open parentheses x close parentheses equals 1 over 6 x cubed minus 1 comma 5 x squared plus 4 comma 5 x end style
Решите уравнение f'(x) = 0, если size 12px f open parentheses size 12px x close parentheses size 12px equals size 12px minus size 12px 2 over size 12px 3 size 12px x to the power of size 12px 3 size 12px plus size 12px x to the power of size 12px 2 size 12px minus size 12px 12
Найдите производную функции: size 12px у size 12px equals size 12px 12 size 12px x to the power of size 12px 5 size 12px minus size 12px 2 over size 12px 3 size 12px x to the power of size 12px 3 size 12px plus size 12px 5 size 12px x to the power of size 12px 2 size 12px minus size 12px 7
Найдите производную функции: size 12px у size 12px equals fraction numerator size 12px 2 size 12px plus size 12px x over denominator size 12px x end fraction в точке x0 = - 4
Найдите y'(x), если y(x) = log3x + 5x
Дана функция f(x) = x3 + begin mathsize 12px style cube root of x end style. Найдите f'(x)
Вычислите f'(1) функции size 12px f open parentheses size 12px x close parentheses size 12px equals fraction numerator size 12px x to the power of size 12px 4 over denominator size 12px x to the power of size 12px 3 size 12px plus size 12px 1 end fraction
Найдите f’(2) ,если f(x) = x3+2x2- 6х+9          
Найдите производную функции open parentheses size 12px 3 size 12px x size 12px minus size 12px 2 size 12px plus size 12px 1 over size 12px x close parentheses size 12px asterisk times open parentheses size 12px 2 size 12px x to the power of size 12px 2 size 12px plus square root of size 12px x size 12px minus size 12px 1 close parentheses
Производная функции у=2х5+3х2-2 равна: 
Производная функции fraction numerator size 12px 2 size 12px x to the power of size 12px 2 size 12px plus size 12px 3 over denominator size 12px 4 size 12px x size 12px minus size 12px 5 end fraction равна
Последнее изменение: Среда, 1 Февраль 2017, 18:23