Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии

Определение 1. Числовую последовательность

b₁, b₂, … b_k , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

$begin mathsize 12px style b subscript 2 over b subscript 1 equals b subscript 3 over b subscript 2 equals b subscript 4 over b subscript 3 equals b subscript 5 over b subscript 4 equals. space. space. equals b subscript n over b subscript n minus 1 end subscript equals. space. space. end style$

Определение 2. Если последовательность чисел

b₁, b₂, … b_k , …

является геометрической прогрессией, то число q , определенное формулой

$begin mathsize 12px style q equals b subscript 2 over b subscript 1 equals b subscript 3 over b subscript 2 equals b subscript 4 over b subscript 3 equals b subscript 5 over b subscript 4 equals. space. space. equals b subscript n over b subscript n minus 1 end subscript equals. space. space. end style$

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b₁ и знаменатель геометрической прогрессии q . Если числа b₁ и q известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

$begin mathsize 12px style b subscript 2 equals b subscript 1 q comma b subscript 3 equals b subscript 2 q comma space space space. space. space. b subscript n equals b subscript n minus 1 end subscript q space space space. space. space. end style$

По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел b₁ и q.

Общий вид формулы n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁qⁿ^-1

Если для суммы первых n членов геометрической прогрессии ввести обозначение

S_n = b₁ + b₂ + … + b _n , n = 1, 2, 3, …

то при q ≠ 1 будет справедливо равенство

$begin mathsize 12px style S subscript n equals fraction numerator b subscript n q minus b subscript 1 over denominator q minus 1 end fraction semicolon end style$ $begin mathsize 12px style S subscript n equals fraction numerator b subscript 1 open parentheses q to the power of n minus 1 close parentheses over denominator q minus 1 end fraction semicolon end style$

которое называется формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

|q| < 1 .

В этом случае выполнено равенство

$begin mathsize 12px style S equals b subscript 1 plus b subscript 1 q plus b subscript 1 q squared plus. space. space. equals l i m subscript n rightwards arrow infinity end subscript S subscript n equals fraction numerator b subscript 1 over denominator 1 minus q end fraction comma space open vertical bar q close vertical bar less than 1 end style$

а величину S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Вопросы к конспектам

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если

begin mathsize 12px style b n equals 1 half end style

begin mathsize 12px style b n plus 1 equals 4 end style

В геометрической прогрессии

begin mathsize 12px style b subscript 1 equals 1 half end style

;

begin mathsize 12px style b subscript 2 equals 1 fourth end style

. Найдите шестой член этой прогрессии.

В геометрической прогрессии

begin mathsize 12px style b subscript 1 equals 2 over 5 end style

begin mathsize 12px style b subscript 2 equals 1 fifth end style

. Найдите шестой член этой b₆ прогрессии.

В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 99, произведение второго и предпоследнего членов равно 288, сумма всех членов равна 189. Сколько членов в геометрической прогрессии?

В геометрической прогрессии n = 7; q =

begin mathsize 12px style 1 half end style

; S_n = 128, Найдите третий и n-й член прогрессии.

В геометрической прогрессии с положительными членами S2 = 4, S3= 8. Найдите S5.

В геометрической прогрессии сумма первого и четвертого членов равна 18, а сумма второго и третьего равна 12. Найдите разность между третьим и вторым членами этой прогрессии

Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80

Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Вычислите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 20:47