Свободные электромагнитные колебания в контуре
Свободные электромагнитные колебания
Периодические или почти периодические колебания заряда, тока и напряжения в цепи называются электромагнитными колебаниями.
В более общем смысле определение можно выразить так:
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности электрического поля (Е) и магнитной индукции (В).
Как и любые периодические процессы, электромагнитные колебания протекают в колебательной системе. Колебательная система, в которой происходят электромагнитные колебания, называется колебательным контуром.
Рис. 1. Простейший колебательный контур
Простейший колебательный контур состоит из соединенных конденсатора и катушки индуктивности (Рис. 1). В таком колебательном контуре могут протекать свободные электромагнитные колебания.
Свободные колебаниями называются такие, которые протекают в системе за счет запаса энергии самой системы, без поступления ее извне.
Рассмотрим процесс электромагнитных колебаний в простейшем контуре (Рис. 2).
Рис. 2. Процесс электромагнитных колебаний в простейшем контуре
Контур состоит из конденсатора, соединенного с катушкой, переключателя, который переключает конденсатор на источник постоянного тока, за счет которого он может зарядиться, либо на катушку. Будем следить за изменениями напряжения на конденсаторе при помощи цифрового вольтметра, который подсоединим в цепь между обкладками конденсатора. График зависимости напряжения на обкладках конденсатора будет отображаться на мониторе компьютера.
Запустим программу отображения напряжения на обкладках конденсатора в реальном времени (Рис. 3).
Рис. 3. Отображение напряжения на обкладках конденсатора
Мы видим, что в начальный период напряжение на конденсаторе отсутствует, при замыкании конденсатора на источник постоянного тока на обкладках конденсатора появляется постоянное напряжение. Перебросим конденсатор на катушку индуктивности – мы видим, что что-то в цепи произошло и напряжение на конденсаторе опять стало нулевым.
Как же изменялось напряжение на обкладках конденсатора, когда мы перебросили заряженный конденсатор на катушку? Увеличим интервал графика, где происходит изменение напряжения (рис. 4):
Рис. 4. Увеличенное отображение напряжения на обкладках конденсатора
Мы видим, что происходили периодические изменения напряжения на обкладках конденсатора, то есть происходил колебательный процесс. В начальный период времени напряжение составляло чуть больше 8 вольт, как только мы замкнули конденсатор на катушку – напряжение на обкладках конденсатора начало падать и упало до нуля. Конденсатор начал перезаряжаться, и напряжение стало с противоположным знаком, конденсатор перезарядился, напряжение опять стало падать, прошло через нуль, конденсатор вновь зарядился так, как он был заряжен изначально, то есть прошел цикл зарядки – перезарядки конденсатора.
Проанализируем те процессы, которые происходили в колебательном контуре.
Рис. 5. Начальный момент времени
В начальный момент времени, перед тем как мы замкнули конденсатор на катушку, на конденсаторе было некоторое напряжение, как только мы замкнули конденсатор на катушку – начался разряд конденсатора (рис. 5).
Конденсатор не может мгновенно разрядиться: как только в цепи появился электрический ток, который пошел через катушку – вокруг катушки возникло магнитное поле, соответственно, возникла самоиндукция. Ток самоиндукции препятствует мгновенному разряду конденсатора, который начинает постепенно разряжаться, электрическое поле в диэлектрике начинает убывать. При этом ток индукции возрастает, магнитное поле нарастает и достигает своего максимума тогда, когда конденсатор полностью разрядится (рис. 6).
Рис. 6. Полная разрядка конденсатора
ЭДС индукции заставляет двигаться заряды в цепи, создает индукционный ток, и конденсатор начинает перезаряжаться. Происходит перезарядка конденсатора, то есть на той пластине, где был знак «+», образовывается знак «-», и где был «-», становится «+». Начинает нарастать электрическое поле конденсатора, магнитное поле убывает (рис. 7).
Рис. 7. Начало перезарядки конденсатора
При этом убывает ток в цепи, поскольку электрическое поле конденсатора препятствует дальнейшему продолжению движения зарядов. Когда поле достигает своего максимального значения энергии – электрический ток прекращается.
Далее процесс разворачивается в обратном направлении – конденсатор вновь начинает разряжаться, и опять он не может сделать это мгновенно, так как возникают явления самоиндукции в катушке и индукционный ток препятствует разряду конденсатора. Конденсатор разряжается и в момент, когда электрическое поле в конденсаторе исчезает – магнитное поле достигает своего максимума и поддерживает индукционный ток, который заставляет опять заряжаться конденсатор. В момент, когда магнитное поле исчезает, электрическое поле достигает своего максимума – пластины вновь будут заряжены так, как они были заряжены в начальный момент.
Таким образом, мы с вами рассмотрели один цикл электромагнитных колебаний в контуре. Этому циклу соответствует время одного периода (рис. 8).
Рис. 8. Цикл электромагнитных колебаний в контуре
Математическое описание процессов
Опишем математически процессы, которые мы рассмотрели. В начальный момент времени вся энергия системы была сосредоточена в электрическом поле конденсатора.
Энергия электрического поля конденсатора определяется квадратом заряда на пластинах конденсатора, деленным на удвоенную электроемкость:
ωс = Q2 / 2С
Когда вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, энергия магнитного поля катушки равна:
ω1 = L· I2 / 2
Для произвольного момента времени сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки есть величина постоянная, то есть мгновенное значение энергии электрического поля плюс мгновенное значение энергии магнитного поля есть все время величина постоянная:
q2 / 2С + L· I2 / 2 = const
Если мы возьмем производную по времени, то производная от постоянной величины по времени даст ноль. Тогда мы получим, что сумма производных мгновенных значений электрического поля и магнитного дадут ноль:
(q2 / 2С)΄ + ( L · I2 / 2)΄ = 0
Возьмем производную по времени и производную мгновенного значения магнитного поля:
1 / 2С · 2 · q· q΄ + L / 2 · 2 · i · i΄ = 0
Вспомним, что мгновенное значение электрического тока есть первая производная заряда по времени i = q΄, значит, вторая производная заряда будет производная тока i΄ = q΄΄, подставив эти значения в предыдущее выражение, после сокращения получим, что сумма второй производной заряда и заряда, умноженного на произведение L·C, равна нулю:
g΄΄ + q · 1 / L·C = 0
Мы получили дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний. Решением такого уравнения является гармоническая функция равная произведению максимального значения заряда или амплитуды заряда, умноженная на cos(ω0 ·t + φ):
q = q0 · cos(ω0 ·t + φ)
Это будет решением дифференциального уравнения, если мы предположим, что циклическая частота гармонических колебаний будет равна обратному значению корня произведения индуктивности на электроемкость катушки:
ω0 = 1 / 
Мы знаем, что период колебания есть величина обратная циклической частоте:
Т = 2π / ω0
Тогда, подставив значения, получим формулу:
Т = 2π 
Это формула Томсона, определяющая период свободных гармонических колебаний в колебательном контуре, период свободных электромагнитных колебаний будет определяться произведением 2π на корень из произведения индуктивности катушки на электроемкость конденсатора.
Заключение
Подведем итоги: в электрической цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, возможно протекание свободных электромагнитных колебаний. Механизм этих колебаний заключается в том, что энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля и обратно, при этом происходят перезаряд конденсатора и периодически изменяются значения заряда на обкладках конденсатора, напряжения и тока. Эти колебания носят гармонический характер, они могут описываться дифференциальным уравнением, и из решения этого дифференциального уравнения следует, что период свободных электромагнитных колебаний определяется индуктивностью и электроемкостью конденсатора.