Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово стереометрия в переводе с греческих слов «стерео»- объемный; «метрео» - измерять Простейшие фигуры пространства: точка; прямая; плоскость.

Плоскость:

Представление о плоскости дает поверхность стола или стены, любая гладкая поверхность. Плоскость как геометрическую фигуру надо представлять себе бесконечно-неограниченную во все стороны поверхность.

На рисунке плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами a; b; g; d и т. д.

Точки А и В принадлежат плоскости b (либо плоскость проходит через точки А и В), а точки М; N; P не принадлежат плоскости. С помощью символом можно записать:

Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и трех пространственных аксиом:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,  принадлежащие этой плоскости , и точки,  не принадлежащие ей.
2. Если две различные плоскости имеют  общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

1. Пересекающие прямые

Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если они пересекаются под прямым углом.

2. Параллельные прямые

Прямые в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек и через них проходит плоскость

3. Скрещивающиеся

Прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве

1. Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание. Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

2. Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на  плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью есть острый угол.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

3. Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (Они не пересекаются).

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

1. Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

2. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.