Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия,  если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки A1 и В1 фигуры F1, то A1B= κAB, где κ>0. Число κ называется коэффициентом подобия (κ>0). При k=1 преобразование подобия является движением.

Частным случаем преобразования подобия является преобразование гомотетии.

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A' такую, что   begin mathsize 14px style stack О А apostrophe with rightwards arrow on top equals k stack asterisk times О А space with rightwards arrow on top end style (рис. а, б для κ > 0, κ < 0). В частности, при κ = -1, гомотетия представляет собой центральную симметрию.

Гомотетия 1   Гомотетия

Основное свойство гомотетии:

При гомотетии с коэффициентом k отрезок AB переходит в отрезок A'B', параллельный AB и такой, что begin mathsize 14px style stack A apostrophe B apostrophe with rightwards arrow on top equals vertical line k vertical line asterisk times stack A B space with rightwards arrow on top end style, а любая фигура F отображается в фигуру F', подобную F с коэффициентом подобия k. При этом всякий элемент фигуры F отображается в соответствующий элемент фигуры F'.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ~ Запись F~F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».

Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1и F3 подобны.

Пусть Х1 и Y1 -- две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2, переводит эти точки в точки Х2, Y2, для которых X2Y2 = k1X1Y1.

Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3, переводит точки Х2, Y2 в точки Х3, Y3, для которых X3Y3 = - k2X2Y2.

Из равенств X2Y2= k1X1Y1,   X3Y3 = k2X2Y2 следует, что X3Y3 - k1k2X1Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: DABC~DA1B1C1 -  предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1, В в B1 и С в С1.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А1В1С1  ÐA=ÐА1, ÐВ=ÐВ1, ÐС=ÐС1

ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

  • Подобие по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Подобие по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
  • Подобие по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  • Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
  • Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
  • Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Признаки подобия прямоугольных треугольников 2

size 14px S subscript size 14px increment size 14px A size 14px B size 14px C end subscript over size 14px S subscript size 14px increment size 14px D size 14px E size 14px F end subscript size 14px equals size 14px kappa to the power of size 14px 2

Определение 1. В треугольниках A1B1C1 и A2B2C2, вершины A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными вершинами,

стороны A1B1 и A2B2, A1C1 и A2C2, B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами,

углы A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными углами

Определение 2. Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Другими словами, треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны, если, во-первых, begin mathsize 12px style angle end styleA= begin mathsize 12px style angle end styleA2; begin mathsize 12px style angle end styleB= begin mathsize 12px style angle end styleB2; begin mathsize 12px style angle end styleC= begin mathsize 12px style angle end styleC2 а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства: a1 = ka2; b1 = kb2; c1 = kc2;

Определение 3. В случае, когда треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны, число k, заданное формулами , называют коэффициентом подобия треугольников A1B1C1 и A2B2C2

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны
  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Вопросы к конспектам

В треугольниках ABD и ADC имеем: AB = AC, BD = DC, begin mathsize 12px style angle end styleBAC = 50°. Вычислить угол DAC.
Медиана равностороннего треугольника равна 12 см. Его площадь относится к площади второго равностороннего треугольника как 1:16. Найдите медиану второго треугольника.
Стороны треугольника равны 4 см, 9 см, 7 см. Найдите меньшую сторону подобного ему треугольника, периметр которого равен 10 см.
Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 23:52