Преобразование плоскости, движение, его свойства
Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние, т.е. движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|
Тождественное отображение является одним из частных случаев движения
Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением
Свойства движения
Свойство 1 (сохранение прямолинейности)
При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения)
Доказательство. Известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|
При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|
Таким образом, точки A', B', C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C'
Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость
Свойство 5. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины.
Свойство 6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
Свойство 7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.
Свойство 8. Композиция двух движений также является движением.
Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:
Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.
Виды движений
На плоскости существуют четыре типа движений:
- Параллельный перенос.
- Осевая симметрия
- Поворот вокруг точки
- Центральная симметрия