Числовая последовательность, способы ее задания и свойства

Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1,  2,  3, …,  n – 1,  n, п + 1, … Функцию y = f(x), : называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или  y₁, y₂, …, y_n, … или {у_n}. Величина у_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой у_n= f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей 1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел;2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел;1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где ;и т.д.

Способы задания последовательностей:

 Перечислением членов последовательности (словесно).

Заданием аналитической формулы.

Заданием рекуррентной формулы.

Примеры: Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {у_n} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность {у_n} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого n выполняется неравенство у_n ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность {у_n} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у_n ≥ m. Число m называют нижней границей последовательности. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью

Возрастание и убывание числовой последовательности. Последовательность {у_n} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:у₁ < y₂ < y₃ < y₄ < … < y_n < y_n+1 < … Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.  Последовательность {у_n} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у₁ > y₂ > y₃> y₄ > … > y_n > y_n+1 > … Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными.

Вопросы к конспектам