Вероятность события. Частота случайного события

В жизни или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента.

События во многих случаях могут быть взаимосвязанными – одно событие может являться последствием второго, а третье  причиной второго и т.д. Например, если включить в комнате свет, то становится светло. В этом случае второе событие связано от первого, т.е., чтобы в комнате стало светло, мы должны включить включатель.

При подбрасывании монеты может выпасть либо «орел», либо «решка» - данное событие является примером случайного события.

Определение:

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Вероятности случайного события исследуются путем формул и законов

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Алматы 8 марта является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Определение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Если n - число всех исходов некоторого испытания, m - число благоприятствующих событиюA исходов, то вероятность события A равна

P(A)=m/n

Пример

Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.

Решение

У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно 6. Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно 1. Тогда

P(A)=1/6

Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р (А). Таким образом, P (A)=m/n

Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах.

Именно это обстоятельство позволяет при изучении случайных событий применять математические методы, приписывая каждому массовому случайному событию его вероятность, за которую принимается то (вообще говоря заранее неизвестное) число, около которого колеблется наблюдаемая частота события.

Вероятность случайного события А обозначается через Р(А). Вероятность случайного события, как и его частота, заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Достоверному событию (т.е. событию, которое должно произойти при каждом испытании) приписывают вероятность Р(А)=1.

Невозможному событию (т.е. событие, которое не может произойти ни при одном испытании) приписывают вероятность Р(А)=0.

В некоторых простейших случаях вероятность случайного события может быть определена заранее. Это можно сделать, например, тогда, когда возможные результаты каждого из однородных испытаний могут быть представлены в виде n единственно возможных, несовместных друг с другом и равновозможных исходов ("случаев") (т.е. кроме этих n исходов не может быть никаких других, никакие два из них не могут произойти одновременно и есть основания считать, что любой из них не является более возможным, чем другие). Если из этих n единственно возможных, несовместных и равновозможных случаев m случаев связаны с наступлением события А (или, как говорят в теории вероятностей, "благоприятствуют" А), то за вероятность события А принимается отношение m к n:

P(A)=m/n.

Задача 1

В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Решение.

Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае А достоверно.

Задача 2

В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение.

Синий шаров в урне нет, т.е. m=0, a n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие А - невозможное.

Задача 3

В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение.

Здесь m=4, n=12 и P(A)=4/12=1/3.

Задача 4

В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара - белые?

Решение.

Здесь число всех случаев n=C210=(10·9)/(1·2)=45. Число же случаев, благоприятствующих событию А, определяется равенством m=C26 т.е. m=(6·5)/(1·2)=15.

Итак, Р(А)=15/45=1/3.

Задача 5

В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета - выигрыш по 50 руб., на десять билетов - выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов - выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов - выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 10 руб.?

Решение.

Здесь m=1+4+10+20=35, n=2000, т.е. Р(А)=m/n=35/2000=0,0175.

Вопросы к конспектам