Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия,  если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки A₁ и В₁ фигуры F₁, то A₁B₁ = κAB, где κ>0. Число κ называется коэффициентом подобия (κ>0). При k=1 преобразование подобия является движением.

Частным случаем преобразования подобия является преобразование гомотетии.

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A' такую, что    (рис. а, б для κ > 0, κ < 0). В частности, при κ = -1, гомотетия представляет собой центральную симметрию.

Основное свойство гомотетии:

При гомотетии с коэффициентом k отрезок AB переходит в отрезок A'B', параллельный AB и такой, что , а любая фигура F отображается в фигуру F', подобную F с коэффициентом подобия k. При этом всякий элемент фигуры F отображается в соответствующий элемент фигуры F'.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ~ Запись F~F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».

Докажем, что если фигура F₁ подобна фигуре F₂, а фигура F₂ подобна фигуре F₃, то фигуры F₁и F₃ подобны.

Пусть Х₁ и Y₁ -- две произвольные точки фигуры F₁. Преобразование подобия, переводящее фигуру F₁ в F₂, переводит эти точки в точки Х₂, Y₂, для которых X₂Y₂ = k₁X₁Y₁.

Преобразование подобия, переводящее фигуру F₂ в F₃, переводит точки Х₂, Y₂ в точки Х₃, Y₃, для которых X₃Y₃ = - k₂X₂Y₂.

Из равенств X₂Y₂₌ k₁X₁Y_1,   X₃Y₃ = k₂X₂Y₂ следует, что X₃Y₃ - k₁k₂X₁Y₁. А это значит, что преобразование фигуры F₁ в F₃, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F₁ и F₃ подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: DABC~DA₁B₁C₁ -  предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А₁, В в B₁ и С в С₁.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А₁В₁С₁  ÐA=ÐА₁, ÐВ=ÐВ₁, ÐС=ÐС₁

ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

• Подобие по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Подобие по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
• Подобие по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

• Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
• Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
• Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету  другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник.

Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Определение 1. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, вершины A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ называют сходственными вершинами,

стороны A₁B₁ и A₂B₂, A₁C₁ и A₂C₂, B₁C₁ и B₂C₂ называют сходственными сторонами,

углы A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ называют сходственными углами

Определение 2. Треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Другими словами, треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны, если, во-первых, A₁ = A₂; B₁ = B_2; C₁ = C₂ а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства: a₁ = ka₂; b₁ = kb₂; c₁ = kc₂;

Определение 3. В случае, когда треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны, число k, заданное формулами , называют коэффициентом подобия треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂

Признаки подобия треугольников

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны
• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Вопросы к конспектам

В треугольниках ABD и ADC имеем: AB = AC, BD = DC, BAC = 50°. Вычислить угол DAC.