Сила тяжести. Ускорение свободного падения

 Введение

Из кур­сов фи­зи­ки 7 и 9 клас­сов вам из­вест­но, что Земля дей­ству­ет на все тела, на­хо­дя­щи­е­ся в ее гра­ви­та­ци­он­ном поле, с силой, ко­то­рую мы на­зы­ва­ем силой тя­же­сти. На про­шлом уроке мы по­ня­ли, что сила тя­же­сти про­яв­ле­ние фун­да­мен­таль­но­го вза­и­мо­дей­ствия – гра­ви­та­ци­он­но­го – и за­пи­са­ли закон все­мир­но­го тя­го­те­ния, ко­то­рое опи­сы­ва­ет это гра­ви­та­ци­он­ное вза­и­мо­дей­ствие:

С дру­гой сто­ро­ны, из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на уско­ре­ние, ко­то­рое тело при­об­ре­та­ет в ре­зуль­та­те дей­ствия силы , равно

В част­но­сти, если речь идет о при­тя­же­нии тела Зем­лей и не дей­ству­ют ни­ка­кие дру­гие силы (на­при­мер, сила со­про­тив­ле­ния), то мы по­лу­ча­ем, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния  равно:

Под­ста­вим в фор­му­лу для  вы­ра­же­ние для силы , ко­то­рое мы за­пи­са­ли выше, и по­лу­чим: , где h – вы­со­та, на ко­то­рой на­хо­дит­ся тело над по­верх­но­стью Земли; масса Земли; ра­ди­ус Земли; гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная. Чаще всего мы на­хо­дим­ся на вы­со­тах, не срав­ни­мых с ра­ди­у­сом Земли, и тогда можно за­пи­сать фор­му­лу в дру­гом виде:

Даже если под­нять­ся на самую вы­со­кую гору на Земле, то ее вы­со­та не со­из­ме­ри­ма с ра­ди­у­сом Земли .

 Ускорение свободного падения

Те­перь вер­нем­ся к уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния и рас­счи­та­ем эту ве­ли­чи­ну, а также по­го­во­рим о том, от чего она может за­ви­сеть:

В дан­ном слу­чае мы будем рас­счи­ты­вать ве­ли­чи­ну  для Земли. Под­ста­вим из­вест­ные нам зна­че­ния:

Итак, у нас есть зна­че­ние уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния – она по­сто­ян­ная ве­ли­чи­на, од­на­ко ее нель­зя пу­тать с дру­ги­ми уни­вер­саль­ны­ми фи­зи­че­ски­ми по­сто­ян­ны­ми, та­ки­ми как гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная. На самом деле уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния за­ви­сит от того, в какой точке зем­ной по­верх­но­сти мы на­хо­дим­ся. Ка­ко­ва же эта за­ви­си­мость?

 Факторы, которые влияют на ускорение свободного падения

За­пи­шем из­вест­ную нам фор­му­лу:

Услов­но на­ри­су­ем Землю (см. рис. 1).

Рис. 1. Земля

Про­ана­ли­зи­ру­ем фор­му­лу – от гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной  хоть и за­ви­сит уско­ре­ние , но во всех точ­ках все­лен­ной она оди­на­ко­вая, по­это­му вли­я­ние  в раз­лич­ных точ­ках Земли не ока­зы­ва­ет; масса Земли тоже оди­на­ко­вая; а вот в зна­ме­на­те­ле и кро­ет­ся ответ. Во-пер­вых, Земля не иде­аль­ная сфе­ри­че­ская по­верх­ность, а яв­ля­ет­ся так на­зы­ва­е­мым гео­и­дом – она сплюс­ну­та у по­лю­сов (ра­ди­ус от цен­тра Земли к по­лю­сам и ра­ди­ус Земли по эк­ва­то­ру немно­го раз­лич­ны ), по­это­му уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния у по­лю­сов немно­го боль­ше, чем уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния в рай­оне эк­ва­то­ра. Итак, пер­вый фак­тор – гео­гра­фи­че­ская ши­ро­та: чем ближе к по­лю­су, тем боль­ше уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Вто­рой фак­тор – вра­ще­ние Земли, так как при вра­ще­нии Земля об­ла­да­ет цен­тро­стре­ми­тель­ным уско­ре­ни­ем, и это вли­я­ет тоже на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Так, на­при­мер, ма­ят­ни­ко­вые часы, рас­по­ло­жен­ные на се­вер­ном по­лю­се и на эк­ва­то­ре, в ре­зуль­та­те имен­но вра­ще­нии Земли в те­че­ние суток будут рас­хо­дить­ся по по­ка­за­ни­ям при­бли­зи­тель­но на 3 ми­ну­ты. Тре­тий фак­тор – за­ле­жи ис­ко­па­е­мых. Если в той точке зем­ной по­верх­но­сти, где мы из­ме­ря­ем , на­при­мер, на­хо­дят­ся за­ле­жи ка­ких-то руд, то уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния там будет боль­ше, если есть пу­сто­ты в той точке, то уско­ре­ние будет немно­го мень­ше. Вот эти три фак­то­ра и обу­слав­ли­ва­ют тот факт, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на Земле лежит в неко­то­ром диа­па­зоне, но в сред­нем нам удоб­но брать его как

А во мно­гих за­да­чах даже можно брать .

 Центр тяжести

От­ве­тим на еще один во­прос – сила тя­же­сти при­ло­же­на ко всему телу, к каж­дой его точке, но очень часто для схем или при ре­ше­нии задач мы ри­су­ем силу тя­же­сти, при­ло­жен­ную к одной точке – эту точку на­зы­ва­ют цен­тром тя­же­сти.  Что же это такое? Все очень про­сто – мы как бы до­го­ва­ри­ва­ем­ся, что вся масса тела со­сре­до­то­че­на в одной точке, ко­то­рую мы на­зва­ли центр тя­же­сти (см. рис. 2).

Рис. 2. Центр тя­же­сти

Но как его найти? Опре­де­лим его с по­мо­щью прак­ти­че­ско­го ме­то­да. В ка­че­стве при­ме­ра тела будем ис­поль­зо­вать от­пе­ча­ток ла­до­ни. Вы­бе­рем две про­из­воль­ные точки и под­ве­сим фи­гу­ру в этих точ­ках (см. рис. 3).

Рис. 3. Опре­де­ле­ние цен­тра тя­же­сти

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: крас­ная вер­ти­каль­ная линия – это линия от­ве­са, линия дей­ствия силы тя­же­сти. Де­ла­ем то же самое, толь­ко с дру­гой точ­кой (см. рис. 4).

Рис. 4. Опре­де­ле­ние цен­тра тя­же­сти вто­рой точки

И снова крас­ная вер­ти­каль­ная линия – это линия от­ве­са, дей­ствие силы тя­же­сти. Точ­кой пе­ре­се­че­ния этих линий и будет центр тя­же­сти тела. Убе­дить­ся в этом неслож­но. Вы­бе­ри­те тре­тью точку и уви­ди­те, что тре­тья линия прой­дет через эту же точку – точку цен­тра тя­же­сти.

Чаще всего, если речь идет об од­но­род­ном теле, то есть его плот­ность во всех точ­ках оди­на­ко­ва, то центр тя­же­сти та­ко­го тела опре­де­лить очень про­сто. На­при­мер, если речь идет об од­но­род­ном шаре, то оче­вид­но, что центр тя­же­сти лежит четко в гео­мет­ри­че­ском цен­тре этого шара и сила тя­же­сти может быть при­ло­же­на к этой точке (см. рис. 5).

Рис. 5. Центр тя­же­сти од­но­род­но­го шара

Точно так же в слу­чае од­но­род­но­го ци­лин­дра центр тя­же­сти будет ле­жать в цен­тре окруж­но­сти, на­хо­дя­щей­ся по­се­ре­дине вы­со­ты ци­лин­дра, и силу тя­же­сти можно при­кла­ды­вать к этой точке (см. рис. 7).

Рис. 7. Центр тя­же­сти од­но­род­но­го ци­лин­дра

Есть такие фи­гу­ры, для ко­то­рых центр тя­же­сти лежит вне тела. Фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся тор. Пред­ставь­те себе буб­лик, и для него центр тя­же­сти будет на­хо­дить­ся вне са­мо­го тела (см. рис. 8).

Рис. 8. Центр тя­же­сти тора

По­это­му центр тя­же­сти не все­гда лежит внут­ри тела.

Также сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на раз­ли­чие по­ня­тий «вес тела» и «сила тя­же­сти». Очень часто ту и ту ве­ли­чи­ну модно по­счи­тать по фор­му­ле , од­на­ко вес тела – это дру­гая сила.

 

Масса как мера гра­ви­та­ци­он­но­го вза­и­мо­дей­ствия

Кста­ти, фор­му­ла  дает нам еще по­ни­ма­ние о массе. Вспом­ним: ранее мы го­во­ри­ли, что масса – мера инерт­ных свойств тела. При­ме­ром этих свойств яв­ля­ют­ся ры­чаж­ные весы. Если нам нужно опре­де­лить массу гру­зи­ка, мы срав­ни­ва­ем его инерт­ные свой­ства с инерт­ны­ми свой­ства­ми дру­го­го гру­зи­ка (см. рис. 6).

Рис. 6. Ры­чаж­ные весы

Те­перь мы можем опре­де­лять массу тела по спо­соб­но­сти его при­тя­ги­вать­ся к Земле, то есть по его гра­ви­та­ци­он­ным свой­ствам, при по­мо­щи из­вест­но­го вам ди­на­мо­мет­ра. Здесь мы срав­ни­ва­ем силы тя­же­сти, ко­то­рая при­тя­ги­ва­ет гру­зик, и силу упру­го­сти пру­жи­ны. Таким об­ра­зом, мы под­хо­дим к пол­но­му опре­де­ле­нию по­ня­тия массы – мера инерт­ных и гра­ви­та­ци­он­ных свойств тела.