Взаимное расположение плоскости в пространстве. Признаки параллельности плоскостей в пространстве

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться:

Две пересекающиеся плоскости

Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия

Две параллельные плоскости

Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности двух плоскостей 

      Первый признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок, на котором изображены плоскости  α  и   β

      Прямые a и b лежат в плоскости  α  и пересекаются в точке K. Прямые c и d лежат в плоскости  β   и параллельны прямым a и b соответственно.

      Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости  α  и   β  не параллельны. Следовательно, плоскости  α  и   β  должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости  α  и   β  буквой l и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.

Плоскость  α  проходит через прямую a, параллельную прямой c, и пересекает плоскость   β  по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость  α  проходит через прямую b,  параллельную прямой d, и пересекает плоскость  β  по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны.  Таким образом, мы получили, что на плоскости  α  через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b, которые параллельны прямой l. Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости  α  и   β  пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

      Второй признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок, на котором изображены плоскости  α  и   β. 

      На этом рисунке также изображены прямые a и b, которые лежат в плоскости  α  и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости  β. Требуется доказать, что плоскости  α  и   β   параллельны.

      Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы  его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

Свойства параллельных плоскостей

I свойство (единственность параллельной плоскости).

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость ей параллельную и притом только одну.

II свойство (свойство трёх параллельных плоскостей).

Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

III свойство (пересечение параллельных плоскостей прямой).

Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

IV свойство (свойство прямых, высекаемых на параллельных плоскостях).

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечений параллельны.

V свойство (свойство отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.