Вписанные и описанные окружности

Определение 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника .

В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Окружность описанной около четырёхугольника

Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Теорема 2. (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

size 12px S size 12px equals square root of open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px a close parentheses open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px b close parentheses open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px c close parentheses open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px d close parentheses end root

где a, b, c, d  –  длины сторон четырёхугольника, а p  – полупериметр, т.е.

size 12px p size 12px equals fraction numerator size 12px a size 12px plus size 12px b size 12px plus size 12px c size 12px plus size 12px d over denominator size 12px 2 end fraction

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

 Теорема Птолемея

a, b, c – стороны треугольника, S –площадь,  r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр

size 12px p size 12px equals fraction numerator size 12px a size 12px plus size 12px b size 12px plus size 12px c over denominator size 12px 2 end fraction size 12px comma begin mathsize 12px style r equals S over p equals fraction numerator 2 S over denominator a plus b plus c end fraction comma end style size 12px r size 12px equals square root of fraction numerator open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px a close parentheses open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px b close parentheses open parentheses size 12px p size 12px minus size 12px c close parentheses over denominator size 12px p end fraction end root

Теорема Птолемея

a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r –  радиус вписанной окружности size 12px r size 12px equals size 12px b over size 12px 2 size 12px asterisk times square root of fraction numerator size 12px 2 size 12px a size 12px minus size 12px b over denominator size 12px 2 size 12px a size 12px plus size 12px b end fraction end root

Теорема Птолемея

a – сторона равностороннего треугольника,  r  –  радиус вписанной окружности size 12px r size 12px equals fraction numerator size 12px a square root of size 12px 3 over denominator size 12px 6 end fraction

Теорема Птолемея 

size 12px r size 12px equals fraction numerator size 12px a size 12px plus size 12px b size 12px minus size 12px c over denominator size 12px 2 end fraction size 12px comma size 12px r size 12px equals fraction numerator size 12px a size 12px plus size 12px b size 12px minus square root of size 12px a to the power of size 12px 2 size 12px plus size 12px b to the power of size 12px 2 end root over denominator size 12px 2 end fraction

 

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности

Теорема Птолемея

 Для любого треугольника справедливо равенство: begin mathsize 12px style R equals fraction numerator a b c over denominator 4 S end fraction end style, где a, b, c  – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Вопросы к конспектам

В четырехугольнике ABCD, вписанном в круг begin mathsize 12px style angle end styleABD = 50°, begin mathsize 12px style angle end styleADC = 82°. Найдите begin mathsize 12px style angle end styleВ четырехугольника.
В четырехугольнике MNKE, вписанном в окружность, угол NKM равен 48°, угол NME равен 76°. Найдите угол МКЕ.
Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 23:56