Системы нелинейных неравенств с одной переменной

Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси.  Последнее очень важно: часто при решении системы нелинейных неравенств делают такую ошибку: приравнивают к нулю левые части неравенств, находят корни и все корни наносят на одну ось. ЭТО НЕВЕРНО!

Решения всех неравенств совмещаем на одной числовой оси, и находим область, над которой расположено столько «стрелок», сколько неравенств в системе.

Рассмотрим пример. Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов:

(1)  x²-x-20<0

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: x₁=5, x₂=-4

Нанесем их на числовую ось:

Расставим знаки. Для этого возьмем число, больше большего корня и подставим вместо х в левую часть неравенства.

Возьмем, например, число 10:

10²-10-20>0, следовательно в самом правом промежутке ставим «+». Так как все корни нечетной кратности,  знаки меняются при переходе через корни:

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0:      

Аналогично для второго неравенства:

(2) x²-2x-8<0 :

Выделим область,  в которой левая часть неравенства меньше 0:

Аналогично для третьего неравенства:

(3)    2x²+x-45<0

Теперь совместим на одной числовой оси решение трех неравенств:

Мы видим, что три «стрелки», изображающие решения всех трех неравенств проходят над отрезком (-2,4) – это и есть решение нашей системы неравенств.

Вопросы к конспектам

Решите систему неравенств: 

Решите системы неравенств: