Потенциальная энергия в однородном поле тяжести. Потенциальная энергия упругой деформации
Теорема о кинетической энергии говорит о том, что работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела. По-другому можно сказать, что кинетическая энергия тела – это способность тела выполнить работу за счет того, что у него есть скорость. Оказывается, существует другой вид энергии – потенциальная энергия, изучением которой мы займемся на этом уроке.
Для начала, рассмотрим работу силы тяжести. На небольших расстояниях от поверхности Земли (по сравнению с радиусом Земли), силу тяжести можно считать постоянной и равной 
. Пусть тело массой 
свободно падает под действием силы тяжести с высоты 
. Перемещение и сила направлены вниз, следовательно, работа силы тяжести положительна и равна
.
По определению, перемещение тела равно 
. Следовательно, работа силы тяжести равна
.
Отметим, что абсолютно неважно, от какой точки отсчитывать высоты и 
(Рис. 1). Мы можем отсчитывать эти высоты от уровня моря или от уровня вершины Эвереста, и величина работы, совершенной силой тяжести, не изменится, поскольку в формулу для работы силы тяжести входит разность этих величин, а не их абсолютные значения.
Рис. 1. Тело падает под действием силы тяжести
Заметим также, что работа силы тяжести при подъеме тела с высоты до высоты равна
.
Эта работа равна работе силы тяжести при спуске тела с противоположным знаком. Таким образом, работа силы тяжести по замкнутому контуру равна нулю.
Давайте рассмотрим, что изменится, если тело не будет падать вертикально вниз, а будет скатываться с наклонной плоскости под некоторым углом к горизонту (Рис. 2).
Рис. 2. Тело соскальзывает по наклонной плоскости под некоторым углом к горизонту
Пусть тело массы под действием силы тяжести совершает перемещение 
, равное по модулю длине наклонной плоскости. Согласно определению работы, работа силы тяжести равна
.
Из рисунка 2 очевидно, что 
. Таким образом, мы получили то же выражение, что и для тела, движущегося по вертикали:
.
Из этого можно сделать вывод, что работа силы тяжести зависит только от «потери высоты».
Это справедливо для спуска тела по любой траектории (Рис. 3). Действительно, произвольную траекторию можно разбить на маленькие участки, на которых ее можно считать линейной. На каждой из этих маленьких наклонных плоскостей будет справедливо, что работа силы тяжести зависит только от потери высоты, следовательно, работа силы тяжести на всем спуске зависит также только от потери высоты.
Рис. 3. Спуск тела по произвольной траектории
Рассмотрим, какую работу совершает сила упругости, и как ее вычислить. Из предыдущих уроков вы знаете, что сила упругости, действующая на тело, пропорциональна деформации, другими словами, 
.
Рис. 4. Работа сил упругости
Найдем работу силы упругости при перемещении тела от точки А до точки В (см. Рис. 4). Поскольку направление перемещения совпадает с направлением силы упругости, работа, совершаемая силой упругости, равна произведению средней силы, действующей на тело, на перемещение, совершенной под действием этой силы:
.
Среднее значение силы упругости:
.
Тогда работа силы упругости равна:
.
Отметим, что работа силы упругости зависит только от начального и конечного положений тела и коэффициента жесткости. Сила упругости и ее работа не зависит от массы тела и траектории, по которой движется это тело. Заметим, что это же справедливо и для силы тяжести.
Поговорим о понятии потенциальной энергии тела. Для этого рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести и силой упругости.
Не напоминает ли вам это теорему о кинетической энергии? Работа этих сил получается равной изменению некой величины, которая также называется энергией, но в данном случае это так называемая потенциальная энергия.
Как вы видите, для потенциальной энергии не существует какой-то определенной формулы – в случае силы тяжести эта величина равна
,
в случае силы упругости:
,
поэтому, говорят, что
Потенциальная энергия – это способность тела совершить работу за счет расположения материальных точек, составляющих систему.
Действительно, для тела, которое падает под действием силы тяжести, работа совершается за счет взаимного расположения Земли и тела. В случае силы упругости, работа совершается за счет взаимного расположения молекул внутри тела (пружины). Отметим, что сама по себе потенциальная энергия не имеет особого физического смысла, поскольку может отсчитываться от любого уровня. Имеет смысл изменение потенциальной энергии. Подобные величины называют аддитивными.